Variations

Итак, давайте поговорим про основы ещё одного раздела математики: вариационное исчисление или calculus of variations.

Сейчас мы поднимемся на несколько высокий уровень абстракции: понимание функций как объектов, над которыми возможны операции.

Мы ведь уже знаем, например, производную и интеграл:

$$\frac{d(x^n)}{dx} = nx^{n-1} \qquad \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$

Подумайте сами: это просто отображения пространства $\mathbb R \to \mathbb R$-функций в себя! Например, функция $\sin x$ отображается в функцию $\cos x$ (или ${-\cos x}$, соответственно).

Определение. Функции над функциями обычно называются функционалами.

А вот ещё один функционал:

$$J{f}=\int^1_0 f(x) dx$$

Он уже отображает $\mathbb R \to \mathbb R$-функции в числа, то есть, в $\mathbb R$. Например, функция $f(x) = x$ отображается в $\frac 1 2$, то есть, $J\{f\} = \frac 1 2$.

Мы уже умеем находить минимумы и максимумы обычных числовых функций, однако представьте, какие возможности открываются, если научиться искать экстремумы функционалов!

Например:

• Найти фигуру с максимальной площадью при минимальной длине.
• Найти $n$-угольник с максимальной площадью.
• Найти кратчайшее расстояние между любыми двумя кривыми.
• Найти кривую, по которой материальная точка максимально быстро скатится под действием только силы притяжения.
• И огромное количество различных физических и геометрических задач (в физике полно разных объектов ведут себя так, чтобы удовлетворять минимуму какого-нибудь функционала).

Отмечу, что все указанные функционалы -- интегральные. Могут быть и иные, конечно же (например, что-нибудь простое и банальное: $J\{f\} = f \cdot e^x + 5$).

Близость функций

Вспомним анализ: мы заранее знакомы с понятием близости чисел. Например, $0.1$ и $0.2$ ближе друг к другу, чем $0.1$ и $1$.

Говоря о функционалах, необходимо то же: нужно договориться, какие функции ближе, а какие дальше. Например, что ближе друг к другу: $\sin x$ и $\cos x$ или $e^x$ и $\ln x$?