Complex Numbers

Вынесено из алгебры, т.к. слишком много. Возможно, переместить в геометрию.

Что такое комплексное число?

Давайте поговорим о числе $\sqrt{-1}$. После школы многие уверены, что квадратных корней из отрицательных чисел не существует. Нам всю жизнь врали!

Когда-то математики обнаружили, что, если допустить существование числа $\sqrt{-1}$, то многие кубические уравнения начинают решаться! Причём не просто решаться: в ответе таких аномалий, как $\sqrt{-1}$, не происходит: там где-нибудь может получиться $a\sqrt{-1}^2$ или $a\sqrt{-1} - a\sqrt{-1}$ для какого-нибудь числа $a$, в результате наша странная аномалия пропадает!
Псс: а ещё в математике можно делить на ноль. Иногда. Только по секрету. (И да, я не про пределы.)

Теперь введём более компактное обозначение: $i = \sqrt{-1}$. Это число называется мнимой единицей.
В общем и целом, можно считать $i$ просто какой-нибудь переменной, которая нам неизвестна, но известно, что $i^2 = -1$. Например: $(a + bi)(a - bi) = \color{grey}{a^2 + abi - abi - b^2i^2} = a^2 + b^2$.

Определение. Комплексным числом называется число вида $a + bi$, где $a, b \in \mathbb R$. При этом $a$ называется действительной частью числа $a+bi$, а $b$ -- мнимой.
Обозначения (от англ. real, imaginary): $$\Re (a + bi) = a$$ $$\Im (a + bi) = b$$ Обращаю внимание, что действительные к ним полностью относятся: ведь число, например, $2$ -- это $2 + 0i$.

Комплексные числа вида $a + 0i$ называются действительными.
Комплексные числа вида $0 + ai$ ($a \ne 0$) называются чисто мнимыми.

Примечание: важно запомнить, что мнимая часть -- это действительное число! Очень легко перепутать, но это крайне важно.
Ещё примечание: форма записи $a + bi$ называется алгебраической записью числа.
И да: юзать обозначение $\sqrt{-1}$ не стоит, чревато ошибками: $$\sqrt{-3} \sqrt{-3} = -3$$ $$\sqrt{-3}\sqrt{-3}=\sqrt{(-3)(-3)}=\sqrt{9}=3$$

Формальное определение

Теперь перейдём к формальному определению. Как строго вводятся в математике комплексные числа. И да, оно очень строгое и формальное.

Определение. Комплексным числом называется пара действительных чисел: $(a, b)$ со следующими операциями сложения и умножения: $$(\color{green}{a}, \color{blue}{b}) + (\color{green}{c}, \color{blue}{d}) = (\color{green}{a + c}, \color{blue}{b + d})$$ $$(\color{green}{a}, \color{blue}{b}) \cdot (\color{green}{c}, \color{blue}{d}) = (\color{green}{ac} - \color{blue}{bd}, \color{blue}{b}\color{green}{c} + \color{green}{a}\color{blue}{d})$$ Примечание: запоминать это необязательно. На практике не нужно, всегда можно легко вывести из алгебраической формы.
Примечание 2: число $(a, b)$ в алгебраической форме -- это $a + bi$.

Легко проверить эквивалентность: $$(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + i(bc + ad)$$ $$\Updownarrow$$ $$(a, b)(c, d) = (ac - bd, bc + ad)$$ Не менее легко проверяется, что $(0, 1)^2 = ({-1}, 0)$.

Комплексная плоскость

Теперь возьмём обычную плоскость и отождествим каждую точку $(x, y)$ (да и каждый такой вектор, чего уж там) с комплексным числом $x + yi$.

...

Любую точку можно однозначно задать её координатами $(x, y)$ (называется декартовыми координатами). Но это не единственный вариант. Другой способ (т.н. полярные координаты) -- когда мы говорим о её расстоянии от $(0, 0)$ и угле поворота $\varphi$.

...

В комплексных числах это называется модулем и аргументом комплексного числа.

Модуль. $|x+yi| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Элементарно по теореме Пифагора.

Аргумент. $\arg(x+yi) = \operatorname{arctg} \large\frac{y}{x}$. Тоже геометрически легко объясняется.
Тут есть интересный момент, ведь углы $\alpha$ и $\alpha + 2\pi$ (например) эквивалентны. В итоге договорились просто: $\operatorname{Arg} z$ -- это множество всех аргументов числа $z$, а $\operatorname{arg} z$ -- аргумент от $-\pi$ до $\pi$ (главное значение аргумента).

Обратные формулы перевода тоже достаточно просты (сможете их сами вывести?): $$\Re (z) = |z| \cos( \arg z)$$ $$\Im(z) = |z|\sin(\arg z)$$ Обращаем внимание, у модуля есть свойства (очевидные чисто геометрически):

1. $|z| \ge 0$. Очевидно, корень из суммы 2 действительных чисел неотрицателен.
2. $|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2|$. Так называемое "неравенство треугольника". Докажите сами (нужно всего лишь подставить определение модуля, возвести в квадрат обе части и доказать, что неравенство верно). Геометрически также очевидно:

...

1. $|z_1 z_2| = |z_1||z_2|$. Доказательство тривиально: $$|(a+bi)(c+di)| = |(ac-bd)+i(ad+bc)|=\sqrt{(ac-bd)^2+(ad+bc)^2}$$ $$\Downarrow$$ $$\sqrt{a^2c^2+b^2d^2\color{gray}{-2abcd} + a^2d^2+b^2c^2\color{gray}{+2abcd}}$$ $$\Uparrow$$ $$|(a+bi)||(c+di)|=\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{c^2+d^2}=\sqrt{a^2c^2+b^2c^2+a^2d^2+b^2d^1}$$ Именно комплексная плоскость даёт немалые возможности для геометрии, ибо многие вещи в них записываются (да и доказываются) гораздо проще, например:
   • $|z| = 2$ -- уравнение окружности радиуса 2.
   • $|z-i| = |z-1|$ -- уравнение линии, проходящей через точки $1$ и $i$.
     А такие вещи, как умножение и деление чисел, дают много интересных фишек.

Основные операции

Очевидно, сложение и вычитание геометрически эквивалентны векторному сложению и вычитанию (т.е. те же сильно мной нелюбимые правила треугольника и параллелограмма): $$(a+bi)+(c+di) = a+bi+c+di = (a+c)+i(b+d)$$ $$(a+bi)-(c+di)=a+bi-c-di=(a-c)+i(b-d)$$ Числа $z = a+bi$ и $\overline z = a-bi$ называются комплексно сопряжёнными. Проверьте. $|z| = z\overline z$.

Умножение: $$(a+bi)(c+di) = \color{gray}{a(c+di)+bi(c+di)=ac+bd(i^2)+adi+bci}=(ac-bd)+i(ad+bc)$$ У умножения есть хороший геометрический смысл: при умножении 2 комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Но это мы докажем чуть позже.

И, наконец, деление! Чтобы поделить, достаточно умножить дробь на сопряжённое: $$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{(ac-bd)+i(bc-ad)}{c^2+d^2}=\frac{ac-bd}{c^2+d^2}+i\frac{bc-ad}{c^2+d^2}$$ Смотрите, какая прелесть: снова комплексное. Вот так легко доказать, что $\mathbb C$ -- это поле (докажите остальные равенства поля).

Обратите внимание: как и в обычных действительных, на ноль делить нельзя.

Докажите. $\overline{\left({\large\frac{z_1}{z_2}}\right)}={\large\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}}$. Докажите. $z + \overline{z} = 2\,\Re(z)$.

Тригонометрическая форма

Ита-ак... давайте рассмотрим множество всех комплексных чисел с модулем 1. Как нетрудно догадаться, они образовывают окружность на комплексной плоскости.

...

Утверждение. Любое такое число представимо в виде $\cos \varphi + i \sin \varphi$, где $\varphi$ -- аргумент числа.
Немного очевидно на самом деле. Проверить, что модуль любого такого числа равен $1$, действительно легко: $|\cos \varphi + i\sin \varphi|=\cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi = 1$.

Примеры:

• $\varphi=0$: $\cos 0 + i\sin 0 = 1$.
• $\varphi = \large\frac{\pi}{4}$: $\cos {\large\frac{\pi}{4}} + i\sin {\large\frac{\pi}{4}}={\large\frac{\sqrt 2}{2}} + i\large\frac{\sqrt 2}{2}$.
• $\varphi=\large\frac{\pi}{2}$: $\cos {\large\frac{\pi}{2}} + i\sin {\large\frac{\pi}{2}} = i$.
• $\varphi=\pi$: $\cos \pi + i\sin \pi = -1$.

Как нетрудно догадаться, мы можем рассмотреть также множество чисел $r(\cos \varphi + i\sin\varphi)$, считая $r$ постоянным (и действительным!), это будет множество чисел на комплексной окружности радиусом $r$.

Утверждение. Любое комплексное число $z$ представимо в виде $r(\cos \varphi + i\sin \varphi)$, причём $r = |z|$, $\varphi = \arg z$. Такая форма записи называется тригонометрической.

Теперь утверждение о геометрическом смысле умножения доказать достаточно легко. В самом деле: $$r_1(\cos \varphi_1 + i\sin \varphi_1) \cdot r_2(\cos \varphi_2 + i\sin \varphi_2) = \\ = r_1r_2(\cos \varphi_1 \cos \varphi_2 - \sin \varphi_1 \sin \varphi_2 + i\sin \varphi_1 \cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2\cos \varphi_1) = \\ = r_1r_2(\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 + \varphi_2))$$

Показательная форма

Есть в матанализе 3 таких интересных равенства: $$e^x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$$ $$\sin x = \frac{x}{1!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$$ $$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$$ Примечание: $n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \ldots \cdot 2 \cdot 1$ (читается как "$n$-факториал"). Например, $4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$. Считается, что $0! = 1! = 1$.

Долгое время математики смотрели на них немного подозрительно, не понимая, как же их связать воедино. Ответ дала наша любимая мнимая единица, ответ достаточно странный, но потрясающе крутой: $$e^{ix} = 1 + \frac{ix}{1!} + \frac{i^2x^2}{2!} + \frac{i^3x^3}{3!} + \frac{i^4x^4}{4!} + \frac{i^5x^5}{5!} + \cdots$$ $$\Downarrow$$ $$e^{ix} = \color{green}{1} +i\color{blue}{\frac{x}{1!}} -\color{green}{\frac{x^2}{2!}} - i\color{blue}{\frac{x^3}{3!}} + \color{green}{\frac{x^4}{4!}} + i\color{blue}{\frac{x^5}{5!}} + \cdots$$ $$\Downarrow$$ $$e^{ix}=\left(\color{green}{1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots}\right)+i\left(\color{blue}{\frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots}\right)$$ Вы тоже это видите? Всё верно: $$e^{ix} = \cos x + i\sin x$$ Правда, круто? Потрясающе ведь!!11

Именно из этого следует формула, когда-то потрясшая математиков своей красотой и мистичностью, связавшая воедино 5 самых известных чисел: $e^{i\pi} + 1 = 0$.

А ещё мы можем перейти из тригонометрической формы к показательной... $$r (\cos \varphi + i\sin \varphi) = r e^{i\varphi}$$ И заявить, что в таком виде представимо любое комплексное число. Любое.

Напоминаю: $r$ -- модуль числа, $\varphi$ -- аргумент.

Примечание: это всё нельзя назвать строгим доказательством, т.к. я не рассказал, что значит $\dots$ (очевидно, там сумма продолжается до бесконечности), не доказал формулы, и что в них можно менять местами и группировать слагаемые...
Но давайте пока на это забь... в смысле, не будем обращать внимания.

геометрическая демонстрация

Чуть-чуть о рядах

Обычно формулы для $\sin x$, $\cos x$, $e^x$ доказываются в матанализе, однако я здесь дам небольшое обоснование.

Предположим, что $\sin x$ можно выразить с помощью бесконечной суммы. Т.е. существуют такие $a_0,\, a_1,\, \color{gray}{\dots}$ , что: $$\sin x = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots$$ Переобозначим: $$f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots$$ $$\sin x = f(x)$$ Чтобы эти функции были равны, неплохо бы, чтобы их значения в $x=0$ были равны. И значения их производных. И вторых. И третьих. И так далее. $$\sin 0 = f(0) \\ (\sin 0)' = f'(0) \\ (\sin 0)'' = f''(0)$$ Отсюда весьма несложно получить коэффициенты суммы. А именно: $$\color{gray}{\sin 0 =} 0 = a_0 \color{gray}{+ a_1 \cdot 0 + a_2 \cdot 0^2 + \dots = f(0)} \\ \color{gray}{(\sin x)'(0) = \cos 0 =} 1 = a_1 \color{gray}{+ 2a_2 \cdot 0 + 3 a_3 \cdot 0^2 + \dots = f'(0)} \\ \color{gray}{(\sin x)''(0) = -\sin 0 =} 0 = 2 a_2 \color{gray}{+ 6 a_3 \cdot 0 + 24 a_4 \cdot 0^2 + \dots = f''(0)} \\ \color{gray}{(\sin x)'''(0) = -\cos 0 =} -1 = 6 a_3 \color{gray}{+ 2a_2 \cdot 0 + 3 a_3 \cdot 0^2 + \dots = f'''(0)} \\ \color{gray}{(\sin x)^{IV}(0) = \sin 0 =} 0 = 24 a_4 \color{gray}{+ 2a_2 \cdot 0 + 3 a_3 \cdot 0^2 + \dots = f^{IV}(0)} \\ \color{gray}{(\sin x)^V(0) = \cos 0 =} 1 = 120 a_5 \color{gray}{+ 2a_2 \cdot 0 + 3 a_3 \cdot 0^2 + \dots = f^V(0)}$$ Отсюда: $$a_0 = 0 \\ a_1 = 1 \\ a_2 = 0 \\ a_3 = -\frac16 \\ a_4 = 0 \\ a_5 = \frac1{120}$$ Иными словами, $$f(x) = x - \frac{x}{6} + \frac{x}{120} - \cdots$$ Т.е.: $$f(x) = \frac{x^1}{1!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$$ Подобные формулы для $\cos x$ и $e^x$ читатель может получить сам, что я очень и рекомендую).

Ещё чуть-чуть геометрии

А давайте докажем теорему косинусов! И теорему Пифагора заодно, как частный случай.

Итак, давайте сделаем вот так: треугольник $ABC$ с известными сторонами $a$, $b$ и углом $\varphi$ между ними.
Точки: $A = be^{i\varphi}$, $B=a$, $C = 0$.

картинка

$|AB|$ -- длина стороны $AB$. Тогдаа... $$|AB|^2 = c^2 = |a-be^{i\varphi}|^2 = (a-be^{i\varphi})(a+be^{i\varphi}) = a^2 + b^2 - 2ab\cos \varphi = |AC|^2 + |BC|^2 - 2|AC||BC|\cos \varphi$$ И, в частности, при $\varphi = {\large\frac{\pi}{2}}$ получается теорема Пифагора ($c^2 = a^2 + b^2$).
TODO: упростить

Определение. Простым отношением 3 точек ($z_1, z_2, z_3$) называется комплексное число ${\large\frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3}}$. Определение. Двойным отношением 4 точек [$z_1, z_2, z_3, z_4$] называется комплексное число ${\large\frac{z_1-z_3}{z_2-z_3}} : {\large\frac{z_1-z_4}{z_2-z_4}}$.

Элементарные функции

В частности, показательная форма даёт возможность легко посчитать степени и корни любого комплексного числа. В самом деле: $$(a+bi)^n\quad \rightarrow\quad (r e^{i\varphi})^n = r^n e^{in\varphi}$$ $$\sqrt[n]{a+bi}\quad \rightarrow\quad (re^{i\varphi})^{1/n} = \sqrt[n]{r}\, e^{\large\frac{i\varphi}{n}}$$ Пример. $$(1+i)^i = (\sqrt 2 e^{\large\frac{i\pi}4})^i = \frac{2^{\large\frac i2}}{e^{\large\frac\pi4}}$$ Посчитайте. $i^i$. И да, это действительное число.

Что там ещё... самое очевидное -- это логарифм. Тут совсем всё просто: $$\ln(a+bi) \quad \rightarrow \quad \ln(r \, e^{i\varphi}) = \ln r + i\varphi$$ И да, в комплексных числах можно брать логарифмы отрицательных чисел. Чудесно, правда?

Тут есть ещё такой момент, связанный с многозначностью аргумента: $$\ln(z) = \ln |z| + i\arg z$$ $$\operatorname{Ln} (z) = \ln |z| + i\operatorname{Arg} z$$ Иными словами, $\operatorname{Ln}$ -- это "многозначный логарифм", отражающий множество значений логарифма для всех аргументов числа.

Можно и экспоненту, но тут совсем элементарно: $$e^{a+bi} = e^a\,e^{bi} = e^a(\cos b + i\sin b) = e^a\cos b + ie^a\sin b$$ Получили вполне себе алгебраическую форму.

Синус и косинус можно получить, исходя из нашей удивительной формулы: $$e^{ix} = \cos x + i\sin x$$ $$\Downarrow$$ $$\cos x = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$$ $$\sin x = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$$ Соответственно, синус и косинус любого комплексного числа считаются именно так.

Предложение. Мы получили значение экспоненты числа $a+bi$ в алгебраической форме, выразите синус и косинус через него.