Algebra-1. 2. Equations & Systems

Диофантовы уравнения

Диофантовы уравнения -- это такие уравнения, у которых коэффициенты -- целые числа, и сами они решаются в целых числах. Именно в целых.

Классический пример: $$x^n + y^n = z^n$$

При $n=2$ его решениями являются "пифагоровы тройки" (т.к. получается теорема Пифагора): $3n,4n,5n$, $n∈\mathbb{Z}$.
При $n>2$ целых (ненулевых) решений нет: именно об этом утверждает Великая теорема Ферма, та самая, легендарная. Доказанная в 1994 году Эндрю Уайлсом.

Уравнение Пелля ($\sqrt{n}∉\mathbb{Z}$): $$x^2 - ny^2 = 1$$ Уравнение Каталана: $$x^z−y^t=1$$ Ну и тому подобные. Заниматься ими мы не будем, ибо это разные спецкурсы. Но познакомиться с этим интересным явлением стоит.

Уравнения разных степеней

Сама алгебра изначально родилась именно из решения линейных уравнений вида $ax+b = cx+d$.
Аль Хорезми (или полностью -- Абу́ Абдулла́х Муха́ммад ибн Муса́ аль-Хорезми́; أبو عبد الله محمد بن موسی الخوارزمی) -- это арабский учёный, в 9 веке написавший свой знаменитый "Трактат о восполнении и противопоставлении" (Аль-китаб аль-мухтасар фи хисаб аль-джабр ва-ль-мукабала). Восполнение и противопоставление -- это перенос слагаемого из одной части уравнения в другую и прибавление к обоим частям одного и того же числа. К слову, отрицательных чисел арабы не знали, так что сложение и вычитание были двумя разными операциями.
От "аль-джабр" и пошло современное "алгебра", от "Аль Хорезми" же -- "алгоритм".

Квадратные уравнения

Итак, как решить обычное квадратное уравнение? Давайте для простоты предположим, что коэффициент при $x^2$ равен единице. $$x^2 + px + q = 0$$ Достаточно всего лишь выделить полный квадрат: $$x^2 + \color{blue}{2} \cdot \frac{px}{\color{blue}{2}} + q = 0$$ $$x^2 + \color{blue}{2} \cdot \frac{px}{\color{blue}{2}} + q + \color{green}{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - \left(\frac{p}{2}\right)^2} = 0$$ $$\left( x^2 + \color{blue}{2} \cdot \frac{px}{\color{blue}{2}} + \color{green}{\left(\frac{p}{2}\right)^2} \right) + q - \color{green}{\left(\frac{p}{2}\right)^2} = 0$$ $${\left( x + \frac{p}{2} \right)}^2 = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q$$ $${\left( x + \frac{p}{2} \right)}^2 = \frac{p^2}{4} - q$$ Дальше можно, как в школе, заявить, что бывает одно решение, два или ноль. Но мы уже взрослые и умеем брать корни из отрицательных чисел. А посему напишем в общем виде: $$x + \frac{p}{2} = \pm\sqrt{\frac{p^2}{4} - q}$$ $$x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}{4} - q}$$

Ну и в конце отметим, что в общем случае как коэффициенты, так и корни могут быть комплексными. Например, решениями уравнения $x^2 + 2x + 2 = 0$ являются числа ${-1}-i$ и ${-1} + i$. Решениями $ix^2 + ix + i + 1 = 0$ являются $i$ и ${-1}-i$.

Уравнение более общего привычного вида $ax^2 + bx + c = 0$ на самом деле полностью эквивалентно уравнению $x^2 + px + q = 0$, где $p=\frac{b}{a}, q = \frac{c}{a}$, для которого мы только что получили значения.

Также есть разные биквадратные и им подобные уравнения: $ax^{2n} + bx^n + c = 0$, подстановкой $t = x^n$ сводится к обычному квадратному и решается.

Кубические уравнения

Как и прежде, упростим уравнение, приняв за коэффициент при $x^3$ единицу. $$x^3 + bx^2 + cx + d = 0$$ Для начала приведём его к более простому виду: $$x^3 + \frac{\color{blue} 3bx^2}{\color{blue} 3} + cx + d + \color{green}{\left( \frac{3b^2x}{9} - \frac{b^2x}{3} + \frac{b^3}{27} + \frac{2b^3}{27} - \frac{b^3}{9} + \frac{bc}{3} - \frac{bc}{3} \right)} = 0$$ $$\color{blue}{x^3} + \color{blue}{\frac{3bx^2}{3}} + \color{blue}{\frac{3b^2x}{9}} + \color{blue}{\frac{b^3}{27}} + \color{green}{cx} - \color{green}{\frac{b^2x}{3}} + \color{green}{\frac{bc}{3}} - \color{green}{\frac{b^3}{9}} + \color{red}{\frac{2b^3}{27}} - \color{red}{\frac{bc}{3}} + \color{red}d = 0$$ $$\left(x^3 + \frac{3x^2b}{3} + \frac{3b^2x}{9} + \frac{b^3}{27} \right) + \left(c - \frac{b^2}{3}\right)x + \left(c - \frac{b^2}{3}\right)\frac{b}{3} + \left( \frac{2b^3}{27} - \frac{bc}{3} + d\right) = 0$$ $$\left(x + \frac{b}{3}\right)^3 + \left(c - \frac{b^2}{3}\right)\cdot\left(x + \frac{b}{3}\right) + \left( \frac{2b^3}{27} - \frac{bc}{3} + d\right) = 0$$ Теперь введём обозначение $t = x + \frac{b}{3}$. $$t^3 + \left( c - \frac{b^2}{3} \right) t + \left( \frac{2b^3}{27} - \frac{bc}{3} + d\right) = 0$$ Прекрасно! Наше уравнение свелось к менее страшному виду $t^3 +mt + n = 0$, где $m = c - {\large\frac{b^2}{3}},\,n = {\large\frac{2b^3}{27}} - {\large\frac{bc}{3}} + d$. Уравнение в таком виде называется reduced -- приведённым (или редуцированным).

Отметим немаловажный факт: нам достаточно найти в общем виде хотя бы один корень, после чего уравнение сведётся к легко решаемому квадратному (чуть позже рассмотрим, как это делается).
Положим: $t = \alpha + \beta$, где $\alpha$ и $\beta$ -- какие-то другие, нам пока неизвестные величины. $$(\alpha + \beta)^3 + m(\alpha + \beta) + n = 0$$ $$\alpha^3 + \beta^3 + n + (m\alpha + m\beta + 3\alpha^2\beta + 3\alpha \beta^2) = 0$$ $$\alpha^3 + \beta^3 + n + (3\alpha\beta + m)(\alpha + \beta) = 0$$ Теперь потребуем, чтобы $3\alpha\beta + m = 0$, т.е. $\alpha\beta = -\large\frac{m}{3}$. В таком случае просто-напросто получаем систему уравнений: $$\left\{ \begin{array}{rcl} \alpha^3 + \beta^3 = -n \\ \alpha\beta = -{\large\frac{m}{3}} \\ \end{array} \right.$$ Прекрасно! Осталось решить эту систему, найти $\alpha$ и $\beta$, и тогда получим наш корень $\alpha + \beta$. Стоп. Но как её решить, и почему мы вообще решили, что у неё всегда есть решение?
Элементарно! Обычная теорема Виета (к коей мы обратимся чуть позже) подсказывает, что... стоп, давайте сделаем ещё один фокус: возведём в квадрат второе уравнение: $$\left\{ \begin{array}{rcl} \alpha^3 + \beta^3 = -n \\ \alpha^3\beta^3 = -{\large\frac{m^3}{27}} \\ \end{array} \right.$$ Ну а теперь вспоминаем теорему Виета и говорим, что решениями этой системы являются решения квадратного уравнения: ...

Рабочая формула

Если вам нужно просто решить кубическое уравнение, необязательно проделывать весь этот путь заново. Просто сведите его к виду $t^3 + mt +n = 0$, а затем воспользуйтесь следующими формулами: $$\alpha = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\left(\frac{p}{3}\right)^3 + \left(\frac{q}{2}\right)^2}}$$ $$\beta = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\left(\frac{p}{3}\right)^3 + \left(\frac{q}{2}\right)^2}}$$ $$t_1 = \alpha + \beta$$ $$t_{2,3} = -\frac{\alpha + \beta}{2} \pm i \frac{\alpha - \beta}{2} \sqrt{3}$$ При этом важно брать такие значения $\beta$, чтобы выполнялось условие $\alpha \beta = - \frac{m}{3}$ (такое, как ни странно, всегда существует).
Лучше стараться брать действительные $\alpha$ и $\beta$. Нередко это не получается, но, что приятно, даже в этом случае сами корни легко могут быть действительными (что вводило в ступор средневековых математиков, с комплексными числами незнакомых, и в конечном счёте привело к их созданию).

Если когда-нибудь кого-нибудь захотите испугать, просто подставьте и выведите общую формулу для корней уравнения $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$. $$t_1 = \sqrt[3]{\frac{-2b^3 + 9abc - 27a^2d}{54a^3} + \sqrt{\left(\frac{3ac - b^2}{9a^2}\right)^3 + \left(\frac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{54a^3}\right)^2}} + \\ \sqrt[3]{\frac{-2b^3 + 9abc - 27a^2d}{54a^3} - \sqrt{\left(\frac{3ac - b^2}{9a^2}\right)^3 + \left(\frac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{54a^3}\right)^2}}$$ $$t_2 = -\sqrt[3]{\frac{-2b^3 + 9abc - 27a^2d}{432a^3} + \sqrt{\left(\frac{3ac - b^2}{36864a^2}\right)^3 + \left(\frac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{13824a^3}\right)^2}}-\\ \sqrt[3]{\frac{-2b^3 + 9abc - 27a^2d}{432a^3} - \sqrt{\left(\frac{3ac - b^2}{36864a^2}\right)^3 + \left(\frac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{13824a^3}\right)^2}} +\\ \sqrt[3]{\frac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{144a^3} - 3\sqrt{\left(\frac{3ac - b^2}{36864a^2}\right)^3 + \left(\frac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{13824a^3}\right)^2}} - \\ \sqrt[3]{\frac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{144a^3} + 3\sqrt{\left(\frac{3ac - b^2}{36864a^2}\right)^3 + \left(\frac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{13824a^3}\right)^2}}$$ $$t_3 = -\sqrt[3]{\frac{-2b^3 + 9abc - 27a^2d}{432a^3} + \sqrt{\left(\frac{3ac - b^2}{36864a^2}\right)^3 + \left(\frac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{13824a^3}\right)^2}}-\\ \sqrt[3]{\frac{-2b^3 + 9abc - 27a^2d}{432a^3} - \sqrt{\left(\frac{3ac - b^2}{36864a^2}\right)^3 + \left(\frac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{13824a^3}\right)^2}} - \\ \sqrt[3]{\frac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{144a^3} - 3\sqrt{\left(\frac{3ac - b^2}{36864a^2}\right)^3 + \left(\frac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{13824a^3}\right)^2}} + \\ \sqrt[3]{\frac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{144a^3} + 3\sqrt{\left(\frac{3ac - b^2}{36864a^2}\right)^3 + \left(\frac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{13824a^3}\right)^2}}$$

Многочлены

Мы уже познакомились со множеством не менее самостоятельных объектов, чем числа, которые можно складывать, умножать, делить... Многочлены -- это ещё один из множества таких.

Определение. Многочленом степени $n$ над полем $\color{darkgreen}{K}$ называется объект вида $a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n$, где $a_0,\, a_1,\, \dots,\, a_n \in \color{darkgreen}{K}$, $x$ называется переменной.

Многочлены можно складывать! По обычному правилу: $$(a_0 + \cdots + a_nx^n) + (b_0 + \cdots + b_nx^n) = (a_0+b_0) + \cdots + (a_n + b_n)x^n$$ И даже умножать, вот примеры: $$a_0 \cdot (b_0 + b_1 x + b_2 x^2) = a_0b_0 + a_0b_1x + a_0b_2x^2$$ $$(a_0 + a_1x) \cdot (b_0 + b_1x+b_2x^2) = a_0\cdot (b_0 + b_1x+b_2x^2) + a_1x \cdot (b_0 + b_1x+b_2x^2) = \\ = (a_0b_0 + a_0b_1x + a_0b_2x^2) + (a_1b_0x + a_1b_1x^2 + a_1b_2x^3) = \\ = (a_0b_0) + (a_0b_1 + a_1b_0)x + (a_0b_2 + a_1b_1)x^2 + (a_1b_2)x^3$$ Очевидно, любое число поля $K$ является просто-напросто многочленом степени 0 над полем $K$. Таким образом, многочлены образуют кольцо, а также векторное пространство.

Основная теорема алгебры.

тут должны быть ещё примеры, например, (x^2 + 2x + 1) = (x+1)(x+1) и для уравнений 3 степени тоже.

Теорема Виета

Итак, теперь, зная про основную теорему, мы можем написать следующее: $$x^2 + bx + c = (x-x_0)(x-x_1)$$ $$\Downarrow$$ $$x^2 + bx + c = x^2 - x(x_0 + x_1) + x_0x_1$$ Тогдаа... $$\left\{ \begin{array}{rcl} -b = x_0 + x_1 \\ c = x_0x_1 \\ \end{array} \right.$$ Предложение, от которого вы не сможете отказаться. Выведите формулу для уравнения 3 степени.

Системы линейных уравнений

Ну что ж, а теперь обратимся к традиционной для линейной алгебры теме, а именно -- решение систем линейных уравнений. $$\left\{ \begin{array}{rcl} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n & = & b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n & = & b_2 \\ \dots & & \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n & = & b_m \\ \end{array} \right.$$ ...