Linear Spaces

Ну что ж, а теперь обратимся к классической для линейной алгебры теме -- линейным (а также и эвклидовым / унитарным) пространствам.

Давайте повторим определение линейного пространства, немного его формализовав.

Множество $V$ называется векторным пространством над полем $F$, если существует отображение $+: V\times V\to V$, называемое сложением, а также отображение $\cdot\,: V \times F \to V$, называемое умножением на число (вместо $+(\mathtt a,\mathtt b)$ и $\cdot\,(\lambda,\mathtt a)$ записываем $\mathtt a+\mathtt b$ и $\lambda\mathtt a$), обладающие следующими свойствами:

1. Коммутативность сложения: $\mathtt x + \mathtt y = \mathtt y + \mathtt x$.
2. Ассоциативность сложения: $\mathtt x + (\mathtt y + \mathtt z) = (\mathtt x + \mathtt y) + \mathtt z$.
3. Нулевой вектор: $\exists\, \color{red}{\mathtt 0} \in V : \mathtt x + \color{red}{\mathtt 0} = \color{red}{\mathtt 0} + \mathtt x = \mathtt x$.
4. Существование отрицательного: $\forall \, \mathtt x \; \exists\, \mathtt{ {-x} }\;:\; \mathtt x + (\mathtt{ {-x} }) = \color{red}{\mathtt 0}$.
5. Ассоциативность умножения: $\alpha(\beta\mathtt x) = (\alpha \beta)\mathtt x$.
6. Умножение на 1: $1 \mathtt x = \mathtt x$.
7. Дистрибутивность умножения 1: $(\alpha + \beta)\mathtt x = \alpha\mathtt x + \beta\mathtt x$.
8. Дистрибутивность умножения 2: $\alpha(\mathtt x + \mathtt y) = \alpha\mathtt x + \alpha\mathtt y$.

($\forall \mathtt x, \mathtt y, \mathtt z \in V,\quad\alpha, \beta \in F$)

Примечание для себя: самое простое определение модуля над кольцом пока видел в Abstract Algebra: Dummit and Foote.

Несколько свойств:

1. Нулевой вектор единственен.
   $\triangleright$ Предположим иное: есть два нуля -- $0_1$ и $0_2$. Самое умное, что можно придумать -- их сложить. $$0_1 + 0_2 = 0_1 = 0_2$$ По свойству первого нуля это равно $0_2$, а второго -- $0_1$. $\triangleleft\,$
   Совершенно аналогично это свойство выглядит для нейтральных элементов вообще -- в группах, кольцах, полях, алгебрах и всём-всём остальном.
2. Существует единственный противоположный вектор.
3. Коммутативность противоположности).

Примеры линейных пространств.

$\mathbb R$ над $\mathbb R$.
$+(x,y) = xy$
$\cdot (x, \lambda) = x^\lambda$
... Пары $(\text{apples}, 3.1415926)$ // должен быть знак доллара //, линейные по 2 аргументу. Из книги Linear Algebra via Exterior.

Системы векторов, линейная зависимость (на примере 1, sin, cos), базис. Пространство функций. Размерность, преобразования при смене базиса. Подпространства, пересечение, сумма, прямая сумма, линейные оболочки. Изоморфизм пространств, да.

Евклидово пространство, унитарное, скалярное произведение, пример скалярного произведения в пространстве функций.