Calculus-1. 1. Numbers & Concepts

Основные понятия анализа

Математический анализ -- это крайне-крайне важный предмет, и вообще основа основ для ряда других. Как только мы заходим в общую физику, например, или экономику, или ещё куда -- сразу же возникают производные, интегралы, а иногда даже градиенты, дивергенции и роторы -- и всё это уже на самом элементарном уровне!

Поэтому я решил, что будет правильным пояснить на "наивном" уровне некоторые важные понятия задолго до их строгого и формального введения.

Давайте начнём с простого: я назову несколько чисел.

$$1,\; 10,\; 100,\; 1000,\; 10000\dots$$ Продолжить сможете? Ну конечно же! А так? $$1,\; \frac{1}{10},\; \frac{1}{100},\; \frac{1}{1000},\; \frac{1}{10000} \cdots$$ Я даже не сомневаюсь. А теперь представим, что мы прыгнули сразу в бесконечность и увидели то самое число, к которому каждое следующее всё ближе и ближе, к которому стремится последовательность. В первом случае такого просто нету (однако числа постоянно увеличиваются, так что скажем, что это бесконечность, $\infty$). Во втором -- это $0$.

А вот ещё пример: $$4,\; 4.9,\; 4.99,\; 4.999,\; 4.9999\dots$$ Догадались? Эта последовательность стремится к $5$.

Это и есть центральная идея матанализа: "А давайте запихнём в эту формулу бесконечность и посмотрим, что получится". Угадывая число (называемое пределом последовательности), мы обошлись без формул, однако так можно сделать не всегда. А вот ещё пример: $$\frac{\sin 0.1}{0.1},\; \frac{\sin 0.01}{0.01},\; \frac{\sin 0.001}{0.001},\; \frac{\sin 0.0001}{0.0001}\dots$$ Неочевидный факт в том, что предел этой последовательности равен $1$.
Это всё записывается так: $$\lim\_{n \to \infty} n = \infty$$ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{10^n} = 0 $$\lim\_{n\to\infty} \cfrac{\left\(\sin \cfrac{1}{10^n} \right\)}{\left\( \cfrac{1}{10^n} \right\)} = 1$$ Страшшная конструкция. Обращаем внимание на $\lim$ и на $n \rightarrow \infty$.
Само слово lim произошло от латинского limes (впрочем, по-английск оно будет limit), обозначающего "предел".
Собственно, идея именно в этом: рассматривать поведение любой закономерности не в точке, а бесконечно близко около неё. Или бесконечно близко к бесконечности (в самой бесконечности рассмотреть мы её не всегда можем, т.к. не всегда понятно, чему она там равна, ну например, чему равен $\sin \infty$?)

Прочие, кажется, требуют картинок.

Предел функции, производная, интегралы, ряды.

Также для функций многих переменных есть т.н. градиент, дивергенция, ротор, которые обозначаются как $\operatorname{grad} f$, $\operatorname{div} \vec{f}$, $\operatorname{rot} \vec{f}$ (или $\nabla f$, $\nabla \cdot \vec{f}$, $\nabla \times \vec{f}$), но они, я подозреваю, слишком сложны, чтобы объяснять их здесь. Поэтому проще: встретите в физике -- не пугайтесь.
Перенести в 2, где вектора уже будут известны?
В них уравнения Максвелла записываются, кстати: $$\nabla \times E = -\frac{1}{c} \frac{\partial B}{\partial t}$$ \nabla B = 0 $$\nabla \times H = \frac{4 \pi}{c} j + \frac{1}{c} \frac{\partial D}{\partial t}$$ \nabla D = 4 \pi p $Сильное утверждение. Объяснять я его, конечно, не буду. ## Действительные числа Давайте обратимся к древней Греции. Греции же? Ну да неважно. Открыв дроби (где числитель и знаменатель -- целые числа), древние греки долго радовались, ибо теперь кусок пиццы можно обозначить числом (например,$\frac{1}{2}$пиццы -- половина), как и кусок чего угодно. Беда пришла откуда не ждали. Из квадрата. Разве же можно от безобидного бесхитростного квадрата ждать какой подлости или подвоха? *картинка с квадратом. Белый на белом фоне, чёрная рамка* Пусть сторона квадрата --$1$. Тогда, по банальной теореме Пифагора, его диагональ равна...$\sqrt{1^2+1^2}$. Иными словами,$\sqrt 2$. Внезапно, это число нельзя обозначить дробью. **Факт из средней школы.** Любую дробь вида${\large\frac{p}{q}}$можно привести к виду${\large\frac{m}{n}}$, где$m$и$n$не имеют общих множителей (кроме$1$). Примеры: -${\large\frac{13}{26}}$-- это тоже самое, что и${\large\frac{1}{2}}$.$1$и$2$не имеют общих делителей ($1$не считается). -${\large\frac{1326}{85}}$-- это${\large\frac{78}{5}}$.$78$и$5$тоже не имеют общих делителей, кроме$1$. К чему это? Этот факт нам понадобится сейчас. **Итак...** Число$\sqrt 2$<u>не</u> является рациональным.$\triangleright$Допустим обратное: число$\sqrt 2$является рациональным. Тогда существует дробь${\large\frac{m}{n}}$, являющаяся несократимым представлением$\sqrt 2$. Т.е.$m$и$n$не имеют общих делителей (кроме$1$), и:$ \frac{m}{n} = \sqrt 2 $$\Downarrow$$ \frac{m^2}{n^2}=2 $$\Downarrow$$ m^2 = 2n^2 $Получается, что$m^2$делится на$2$, т.е.$m^2$-- чётное число. Тогда и$m$-- чётное (квадрат любого чётного числа также чётен, а$m$ещё и целое). Значит,$m$представимо в виде$2k$(где$k$-- целое). Тогдаа...$ (2k)^2 = 2n^2 $$2k^2 = n^2$$ Таки получается теперь, что $n^2$ делится на $2$. Противоречие, однако: у $m$ и $n$ не должно быть общих делителей.

"Без проблем" -- можно сказать, -- "давайте сократим дробь: $\sqrt 2 = {\large\frac{m}{n}} = {\large\frac{\sqrt{2n^2}}{\sqrt{2k^2}}} = {\large\frac{n}{k}} = \sqrt 2$, уж она-то точно будет несократимой!". Та элементарно же, мы проводим те же самые рассуждения, и вновь двойка оказывается общим делителем $n$ и $k$. То есть, несократимого представления в виде дроби не существует. И сократимого тоже. $\triangleleft$

Таким вот образом, $\sqrt 2$ -- иррациональное число. Как $\sqrt 3$, $\sqrt 5$, $\pi$, $e$ и многие другие.

Что такое иррациональные числа?

\/\/ написать пару слов о числе пи, упомянуть, что число е обсудим позже.

"Если кто-нибудь скажет "число пи нельзя написать в виде дроби", напишите ему $\frac\pi1$. Когда же он уточнит, что дробь должна быть с рациональными коэффициентами, напишите известную формулу Валлиса:" $$\pi = 2\left(\frac{2\dot 2\dot 4\dot 4\dot 6\dot 6\dot 8\dot 8}{1\dot 3\dot 3\dot 5\dot 5\dot 7\dot 7\dot 9}\right)$$ Где-то там, в бесконечности, в числителе и в знаменателе получатся натуральные числа, чье отношение и даст число пи... Но в этих числах будет бесконечное количество цифр!

Любое рациональное число можно записать в виде десятичной периодической дроби:

$$\frac{1}{2} = 0.5$$ $$\frac{1}{3} = 0.33333\color{gray}{\dots} = 0.\(3\)$$ \frac{56}{15} = 3.733333\dots = 3.7(3) $$\frac{80}{56} = 1.\color{rgb\(200,0,0\)}{428571}4285714285714285714285714\dots = 1.\(428571\)$$ \frac{123}{51} = 2.(4117647058823529) $Ну а теперь иррациональные. Их важнейшее отличие в том, что у них периода нет. Совсем нет. В принципе.$ \sqrt 2 = 1.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679738\dots $$\pi = 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592\dots$$ e = 2.718281828459045235360287471352662497757247093699959574966967628\dots $Или даже что-нибудь своё, из головы:$ 0.\color{rgb(200,0,0)}{123}\color{rgb(0,170,0)}{102030}\color{rgb(0,0,200)}{100200300}\dots $Как ни странно, иррациональных чисел несравнимо больше, чем рациональных. И тех, и других бесконечность, но бесконечность иррациональных больше. В чём мы обязательно и убедимся. Но позже.  Причина, по которой действительные числа важны для анализа -- их полнота. Во множестве рациональных чисел есть дырки (там, где должны быть иррациональные числа), с этим и возникают проблемы. Например, мы можем спокойно придумать последовательность из рациональных чисел, которая сходится к иррациональному.$ 1,\;1.4,\;1.41,\;1.414,\;1.4142,\;1.41421,\;1.414213\,\dots\qquad\rightarrow\qquad\sqrt 2 $Или вот:$ \left(1+\frac{1}{1}\right)^1,\;\left(1+\frac{1}{2}\right)^2,\;\left(1+\frac{1}{3}\right)^3,\;\left(1+\frac{1}{4}\right)^4,\;\left(1+\frac{1}{5}\right)^5,\;\left(1+\frac{1}{6}\right)^6\,\cdots\qquad\rightarrow\qquad e $$С действительными подобного не случается, последовательность из действительных чисел **всегда** сходится к действительному. Кстати говоря, НАСА говорили, что пользуются числом пи с 15 точными знаками (а именно столько влезает в стандартный float, тип данных во многих языках программирования), и даже приводили пример, показывающий, что б**о**льшие критичны будут лишь при полёте через чуть ли не всю Вселенную. *ссылочку бы тут* ### Виды иррациональных Также есть деление иррациональных чисел на *алгебраические* и *трансцендентные*. Число$$ m$-- алгебраическое, если оно может быть корнем уравнения какой-нибудь степени с рациональными коэффициентами, т.е. если существуют **рациональные**$a1$,$a_2$, ...,$a_n$, такие, что:$ a_1 + a_2 m + a_3 m^2 + \dots + a_n m^n = 0 $$Так, например, число$$ \sqrt 2$вполне себе алгебраическое: его уравнением является$x^2 -2 = 0$. Иные числа же называются трансцендентными, и к ним вполне себе относится$\pi$. Интересного упоминания заслуживают невычислимые числа: это такие, для которых не существует алгоритма вычисления с произвольной точностью. Да, есть и такие. Дело в том, что самих иррациональных чисел гораздо больше даже, чем алгоритмов. Подробнее об этом -- позже (Logic [2]). ### Непрерывные дроби А теперь я покажу интересный фокус. Давайте придумаем абсолютно рандомную дробь. Например,$\large\frac{89}{27}$. Итак...$ \frac{89}{27} = 3 + \cfrac{8}{27} = 3 + \cfrac{1}{\cfrac{27}{8}} = 3 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{3}{8}} = 3 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{\cfrac{8}{3}}} = 3 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{2}{3}}} = 3 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{\cfrac{3}{2}}}} = 3 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2}}}} $Именно такую систему (называемую *непрерывными дробями* или *цепными дробями*) вместо наших привычных десятичных дробей использовали для записи чисел древние греки. Вся фишка в том, что иррациональные числа получались бесконечными! Например, давайте посмотрим на$\sqrt 2$:$ \sqrt 2 = 1 + (\sqrt 2 - 1) = 1 + \frac{(\sqrt 2 - 1)(\sqrt 2 + 1)}{\sqrt 2 + 1} = 1 + \frac{1}{\sqrt 2 + 1} $$\Downarrow$$ \sqrt 2 = 1 + \frac{1}{\sqrt 2 + 1} $Красота, не правда ли? Давайте прибавим по единичке с обеих сторон:$ \sqrt 2 + 1 = 2 + \frac{1}{\sqrt 2 + 1} $$\Downarrow$$ \sqrt 2 + 1 = 2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{\sqrt 2 + 1}} = \color{gray}{\cdots} = 2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{\sqrt 2 + 1}}}}}}=\cdots $Получили бесконечную дробь. Можно взять на любом шаге и заменить$\sqrt 2$на$1$, получим приближённое значение. Ещё примеры:$ e = 2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{\color{green} 2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{\color{green} 4 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{\color{green} 6 + \cfrac{1}{1 + \cdots}}}}}}}}} $$\pi = 3 + \cfrac{1}{7 + \cfrac{1}{15 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{292 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{14 + \cdots}}}}}}}}}}}}$$ \operatorname{tg} 1 = \color{green} 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{\color{green} 3 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{\color{green} 5 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{\color{green} 7 + \cfrac{1}{1 + \cdots}}}}}}}} $$> В докладах Академии наук за 1935 год я читал две статьи биологов, в которых упоминалось число$$ \pi$. Одна статья называлась "О долбящей деятельности дятлов", другая -- "О фонтанирующей деятельности китов". В последней описывалась такая задача из практики китоловов. Допустим, вы заметили вдалеке фонтан кита и хотите определить, стоит ли отправляться на охоту за этим китом, или количество мяса, которое вы добудете, незначительно. Для этого нужно было выяснить зависимость между фонтанирующей деятельностью и объёмом кита. Поэтому в статье была приведена формула для объёма кита:$V = \pi r^2 l$, где$r$-- оценка половины ширины кита,$l$-- его длины (кит считался цилиндрическим). И только было трудно объяснить китоловам, что такое$\pi$. В статье было такое объяснение: "...где$\pi$-- константа, которая для гренландских китов равна$3$". Но для китов других пород, по-видимому, нужно использовать другие значения. Если у$e$или у$\sqrt 3$закономерности очевидны, то вот у$\pi$они, насколько мне известно, до сих пор не найдены. #### Золотое сечение Есть ещё одно хорошее число -- золотое сечение, обозначаемое$\varphi$. Итак, число$\varphi$- это отношение двух величин$a$и$b$при том, что${\large\frac{b}{a}} = {\large\frac{a+b}{b}}$. Откуда можно получить, что$\varphi = {\large\frac{1 + \sqrt 5}{2}}$. https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f1/Rechteck_GoldenerSchnitt.gif https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ed/Nautilus_Section_cut_Logarithmic_spiral.jpg$ \varphi = 1.6180339887498948482… \varphi = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cdots}}}}} $$**Интересное свойство.** У чисел вида$$ \sqrt a$последовательности имеют вид$[A, (B, C, D\dots), (\dots D, C, B), 2A, (B, C, D\dots), (\dots D, C, B), 2A, \dots]$. Пример для$\sqrt{14}$:$[\color{green}{3}, \color{blue}{1, 2, 1}, \color{darkred}{6}, \color{blue}{1, 2, 1}, \color{darkred}{6}, \color{blue}{1, 2, 1}, \color{darkred}{6}\dots]$. *тут геометрически, почему цепные дроби являются наилучшими приближениями* ## Нестандартный анализ Традиционно в матанализе под словом "бесконечно малое" определяется некоторая последовательность чисел, каждое из которых ближе к 0, чем предыдущее. Однако вряд ли какой-нибудь математик, произнося "возьмём бесконечно малый элемент объёма" (а такие фразы постоянно встречаются в учебниках физики, надо сказать) представляет себе последовательность: это странно и нелогично. Гораздо проще и понятнее воспринимать просто очень-очень маленькие числа, почти от нуля неотличимые. Это и есть главная идея нестандартного анализа: бесконечно малые считаются величинами постоянными, но притом очень-очень близкими к нулю, бесконечно близкими. Собственно, именно в идеях бесконечно малых были даны основные понятия, а теперь пришло время их несколько формализовать. <center>$\varepsilon$-- такое число, что$\varepsilon > 0$и$\underbrace{\varepsilon + \varepsilon + \dots + \varepsilon}{n} < 1\forall \, n$. </center> Говоря по-русски, сколько бы$\varepsilon$ни сложить, результат будет меньше 1. Из того же неравенства, кстати, незамедлительно вытекает тот факт, что$1/\varepsilon$бесконечно большое:$ \varepsilon + \varepsilon + \dots + \varepsilon < 1 $$\frac{1}{\varepsilon}\(\varepsilon + \varepsilon + \dots + \varepsilon\) &lt; \frac{1}{\varepsilon} \cdot 1$$ 1 + 1 + \dots + 1 < \frac{1}{\varepsilon} $Это может быть несколько сложно представить, поэтому важно понимать: это лишь абстракция. Таких чисел, конечно же, в самом деле в нашем мире нет (как и комплексных, например), но мы представим, что есть, и посмотрим, что из этого получится. **Определение.** *Гипердействительным числом* называется число вида$a + b\varepsilon$, где$a, b \in \mathbb{R}$. Они же *гипервещественные* и *гиперреальные*. **Определение.** *Стандартной частью* гипердействительного числа$a+b\varepsilon$называется число$a$. Или, иначе, *стандартной частью* гипердействительного числа$m$называется действительное число$n$, бесконечно к нему близкое. Обозначения:$ \mathfrak{St} (a+b\varepsilon) = a $$^\circ\(a + b\varepsilon\) = a$$ $$\mathrm{St} \(a+b\varepsilon\) = a$$ Мы будем пользоваться последним.

Множество гипердействительных чисел обозначается $\mathbb R ^*$.

Исторически создателем нестандартного анализа можно считать Лейбница, который понимал созданный им анализ именно в таком виде. Однако нелюбовь к бесконечно малым величинам долгое время сохранялась из-за трудности их формально обосновать, и в XIX веке Вейерштрасс ввёл множество формальностей, в том числе предложил определение предела через $(\varepsilon - \delta)$-язык (эпсилон-дельта-язык). В XX веке (1961 году, если точнее) американский математик еврейского происхождения из Германии -- Абрахам Робинсон -- формализовал понятие бесконечно малых (как это рассказывается выше), и тем самым дал жизнь нестандартному анализу как новому направлению математического анализа.

Нестандартный анализ крайне крут тем, что он даёт совершенно иной взгляд на объекты, недоступный анализу классическому. Многие теоремы и выводы классического анализа формулируются в терминах нестандартного гораздо проще, быстрее и понятнее, а большая наглядность открывает новые возможности. Благодаря нестандартному анализу уже получен ряд результатов, недоступных ранее анализу классическому просто-напросто из-за отсутствия наглядности!

Но в теории все те же результаты также могут быть достигнуты средствами обычного анализа. Это важно: они полностью эквивалентны, просто 2 разных языка для выражения одного и того же смысла.

О разнице актуальной и потенциальной бесконечностей

Этот вопрос выглядит несколько философским, чем математическим, но тем не менее.

Издавна в математике различают 2 типа бесконечности:

• Потенциальная -- у нас есть кучка яблок, и каждый день мы туда кладём ещё по одному. Рано или поздно их количество станет больше любого наперёд заданного числа.
• Актуальная -- у нас есть кучка, и в ней бесконечное количество яблок.

Именно на примере нестандартного анализа особенно наглядно видно их разницу: в классическом анализе говорят о потенциальных бесконечностях, а в нестандартном -- об актуальных.

Не удержался я от приведения здесь примера (про яблоки) хабраюзера Sirion в его статье "Про Бурали-Форти, Пуанкаре и то самое определение единицы" (https:\/\/habrahabr.ru\/post\/263067\/; очень интересно, всем советую), почему бы не дать ему слово и дальше?

До некоторого момента в математике встречалась лишь потенциальная бесконечность, а актуальной бесконечностью оперировали лишь теологи для описания различных категорий божественного. Кантор, грубо введя актуальную бесконечность в математику, вызвал волну возмущения как среди религиозных деятелей, так и среди математиков-современников, включая вышеупомянутого Пуанкаре. Причём при внимательном рассмотрении оказалось, что актуальные бесконечности бывают разные. Количество натуральных чисел — это одна бесконечность, количество действительных — другая, и вторая бесконечность больше первой. А количество функций действительного аргумента — это третья бесконечность, превосходящая первые две вместе взятые!

Впрочем, эту тему мы обсудим чуть дальше ).