Calculus-1. 2.

Теперь поговорим о том, как измерять расстояние во множествах. Да, мы можем померить расстояние между числами $3$ и $5$ на линейке другой линейкой (получим, очевидно, $2 = |5 - 3|$), однако как узнать, например, расстояние между двумя матрицами или функциями?

Ответ прост: мы можем взять специальную функцию (она должна обладать некоторыми свойствами, очевидно) и использовать её в качестве линейки. В $\mathbb C$ и всех его подмножествах мы привыкли пользоваться такой: $d(x, y) = |x-y|$. Однако, очевидно, что и в обычных числах можно использовать иные расстояния!

Определение. Функция $d: X\times X \to \mathbb R$ (сопоставляющая каждой паре элементов $X$ действительное число) называется метрикой на множестве $X$, если:

1. $d(x, y) > 0, \text{ если } x \ne y$, и $d(x,y)=0, \text{ если } x=y$.
2. $d(x,y) = d(y,x)$.
3. $d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)$. Это обычное неравенство треугольника, для иллюстрации которого тут нужно картинку, но мне пока лень.

Множество $X$, если на нём определена метрика, называется метрическим пространством. Само значение $d(x,y)$ называется расстоянием между $x$ и $y$.

Примеры метрик, как же без этого:

1. Дискретная метрика: $d(x,y) = \cases{0, \text{ если } x = y\cr 1,\text{ если } x \ne y}$.
2. В любом подмножестве $\mathbb C$: $d(x, y) = |x-y|$ (называемое естественной метрикой).
3. $L^p$-метрика в $\mathbb R^n$: если $x = (x_1, x_2, \dots, x_n)$ и $y = (y_1,y_2,\dots,y_n)$, то $d_p(x,y) = (|x_1-y_1|^p+|x_2-y_2|^p+\dots +|x_n-y_n|^p)^{1/p}$.
   Например, в $\mathbb R^2$ при $p=2$ получается обычное расстояние между 2 точками: $d_2(x,y)=\sqrt{(x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2}$.
4. $L^\infty$-метрика в $\mathbb R^n$: если $x = (x_1, x_2, \dots, x_n)$ и $y = (y_1,y_2,\dots,y_n)$, то $d_\infty(x,y)=\operatorname{max}(|x_1-y_1|,|x_2-y_2|,\dots,|x_n-y_n|)$.
5. Манхэттенская метрика, но тут нужна картинка, а мне лень.
6. Если $X$ - множество непрерывных на отрезке $[a,b]$ функций $\mathbb R \to \mathbb R$, то можно определить расстояние между двумя функциями так: $d(f,g) = \operatorname{max}_{a\le t\le b}(f(t)-g(t))$. Иными словами, максимальное расстояние между функциями (тогда, например, $d(\sin x, \cos x) = 2$).
7. Если функции дифференцируемы $k$ раз, то можно такую: $d(f,g) = \operatorname{max} (d_0(f,g), d_0(f',g'), d_0(f'',g''), \dots, d_0(f^{(k)},g^{(k)}))$, где $d_0$ -- определённая в пункте 6 метрика.
8. Если функции интегрируемы, то можно так: $d(f,g) = \int^b_a |f(x)-g(x)|dx$.
9. Можно в предыдущем примере возвести модуль под интегралом в какую-нибудь степень.

Примечание: $\operatorname{max}$ - функция, выбирающая наибольшее число: например, $\operatorname{max}(1,4,5,9) = 9$.

http://www.mccme.ru/free-books/mmmf-lectures/book.16.pdf https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%86%D1%83%D0%B7%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%B6%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B7%D0%BD%D0%BE%D0%B4%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0 https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B0%D1%81%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%8F%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B4%D1%81%D0%BA%D0%B8%D1%85_%D0%BA%D0%B2%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%BE%D0%B2 http://pskgu.ru/ebooks/schilov/sch_gl2_1.pdf