Logic. 2. Theorems & Infinities

Пока перенесено сюда. Теория множеств породила новый вид чисел: кардинальные числа. Мощность множества $A$ также нередко называется кардинальным числом множества $A$ и обозначается: $\operatorname{card} A$.

Просто другое название, не больше.

Определение. Множества называются равномощными, если каждому элементу одного множества можно поставить в соответствие каждый элемент другого множества.

Пример: $|\{1,2,3\}|=|\{\varnothing,|\varnothing|, \{\varnothing\}\}|$

Соответствие, например, такое: $1→\varnothing$, $2→|\varnothing|$, $3→\{\varnothing\}$. Можно поставить любое другое соответствие, не суть. Важно, чтобы разные объекты соответствовали разным.
Вот, например, неравномощные: $|\{1,2,3\}|≠|\{8,9\}|$

Пробуем поставить соответствие: $1→8$, $2→9$, $3→???$. Тройка не досчиталась друга. Можно подружить её с восьмёркой или девяткой, но тогда не досчитается друга кто-то другой.

Фишка в том, что существуют бесконечные множества, причём разной длины. Следовательно, нам нужны какие-то новые числа, позволяющие меряться бесконечностями (любимое занятие многих парней). И они есть.
Кардинальные числа! $$|\mathbb{N}|=\aleph_0$$ Страшная буква $\aleph$ читается "алеф" и принадлежит множеству всех букв алфавита иврита.

Бесконечности! О да. Именно исследование бесконечных множеств позволяет нам исследовать бесконечности. Кажется, именно бесконечные множества привели Кантора к его последующему, а затем и нынешнему состоянию.

...

А ещё обязательно -- про мощность булеана.

...