Calculus-1. 6. Integrals

Итак, эта глава посвящена детальному изучению определённых и неопределённых интегралов.

Неопределённые интегралы

определение

...и тут стоит сделать небольшое отступление. Дело в том, что до сих пор в наших технических вузах относят к очень важным задачам аналитическое вычисление каких-нибудь хитрозамороченных интегралов. Но сегодня изучение вычисления сложных неопределённых интегралов само по себе уже не имеет большого смысла: нередко не слишком большая разница, писать $\cos x$ или же $\int -\sin x\, dx$ -- это ведь одна и та же функция.

Уже давно создан (и реализован на множестве языков [программирования]!) алгоритм, аналитически вычисляющий интегралы для всего, что вообще интегрируется, — алгоритм Риша.

Во многих практических задачах аналитическое решение и вовсе не нужно: нужно вычислить $\int_0^1 f(x)\,dx$, и это запросто делается без нахождения какой бы то ни было первообразной. Приближённо, конечно, но разница столь мала, что на практике не проявляется совсем. Ну и, кроме того, это банально быстрее.

Определённые интегралы

$$\int_0^1 mathemix\,dx = mathemi$$

Техника неопределённого интегрирования

В разной степени определённые (в смысле, определённые и неопределённые) интегралы возникают в огромном количестве физических и геометрических задач (а решение определённых сводится к решению неопределённых с помощью формулы Ньютона-Лейбница), и тут стоит отметить важный момент: благодаря этому умение брать какие-нибудь хитрозамороченные интегралы издавна ценилось высоко.

Еретика, посмевшего посягнуть на доброе, светлое, вечное, — неопределённые интегралы, -- во времена Эйлера одновременно вешали и сажали на кол. О суровости подобного наказания мы можем судить хотя бы из того, что множество подвергнутых ему математиков равномощно пустому.

Однако же в действительности сегодня решение хитрозамороченных интегралов не нужно по многим причинам. Во-первых, давно создан алгоритм Риша (и реализован во множестве программ, таких как Mathcad, Maple, Wolfram Language, а также на множестве языков программирования), который берёт вообще всё, что берётся. Иногда такое решение более длинно и менее красиво, чем взятый человеком вручную, но если функции равны, то какая разница?

Во-вторых, нередко нужно посчитать определённый интеграл (например, $\int_0^1 \exp(-\frac{x^2}2)\,dx$), т.е. получить число. Уже давно придумано море способов посчитать интеграл, не вычисляя первообразную, причём работают подобные алгоритмы зачастую даже быстрее. Из минусов: мы получим приближённое решение (скажем, не 3, а 2.99999), но кого это волнует, если разница не сказывается совсем никак (а такой точности легко добиться)?

Ну и в-третьих, можно написать просто интеграл. Например, записи

$$f(x) = \int^x_0 e^{-t^2}\,dt$$

и

$$f(x) = \frac{\sqrt \pi}2\,\operatorname{erf} x$$

полностью идентичны. Мы легко можем посчитать значение этой функции, производную, интеграл в любой точке. Записанное в таком виде решение задачи ничуть не хуже, чем записанное явно.

Примечание: $\operatorname{erf} x$ -- это специальная функция, ничем не хуже, чем синус или косинус, например. Она так и определяется:

$$\operatorname{erf} x = \frac2{\sqrt \pi} \int^x_0 e^{-t^2}\,dt$$

Однако и по сей день фанаты сего действа работают поголовно профессорами в университетах и институтах, убеждая изучающих матанализ, что главная его цель -- вычисление интегралов, и задавая по 300-400 штук в качестве семестровой домашки. Увы.

Уметь решать хотя бы простые интегралы -- нужно (какой ты математик, физик или инженер, если не сможешь вычислить $\int \frac{dx}{1+x^2}$), однако изучать все эти хитрозамороченные подстановки и способы вряд ли имеет смысл. Если от вас этого не требуют, рекомендую просто прочитать для общего развития.

Итаак...

Таблица интегралов

Для вычисления производных есть чёткий алгоритм: какой бы страшной функция ни была, у нас не возникнет вопроса "что делать", всегда можно посчитать просто "в лоб" (если она дифференцируема, конечно), формулы есть для всего. С интегрированием всё не так.

1. $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ ($n \ne -1$)
2. $\int \frac1x dx = \int \frac{dx}x = \ln |x| + C$.
3. $\int \frac1{1+x^2} dx = \int \frac{dx}{1+x^2} = \operatorname{arctg} x + C$.
4. $\int \frac1{\sqrt{1-x^2}} dx = \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \operatorname{arcsin} x + C$.
5. $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln x} + C$.
6. $\int \sin x\, dx = \cos x + C$.
7. $\int \cos x\, dx = -\sin x + C$.
8. $\int \frac1{\sin^2 x}dx = \int \frac{dx}{sin^2 x} = -\operatorname{ctg} x + C$.
9. $\int \frac{1}{\cos^2 x}dx = \int \frac{dx}{\cos^2 x} = \operatorname{tg} x + C$.
10. $\int \operatorname{sh} x\,dx = \operatorname{ch} x + C$.
11. $\int \operatorname{ch x}\,dx = \operatorname{sh} x + C$.
12. $\int \frac1{\operatorname{sh}^2 x}dx = \int \frac{dx}{\operatorname{sh}^2 x} = -\operatorname{cth} x + C$.
13. $\int \frac1{\operatorname{ch}^2 x}dx = \int \frac{dx}{\operatorname{ch}^2 x} = \operatorname{th} x + C$.

Это таблица основных интегралов. Все прочие берутся тем, что их нужно привести к этому же виду. То есть, по сути, интегрирование -- это приведение любой функции к линейной комбинации вышеупомянутых. Для некоторых функций сделать это принципиально невозможно (например, упомянутая выше $\operatorname{erf} x$), для некоторых сложно.

Вообще говоря, желающим научиться в неопределённое интегрирование я советую Фихтенгольца (самое начало 2 тома), а также mathprofi.ru. Не знаю, смогу ли столь же хорошо объяснить. Но я попробую.

Численное интегрирование

Вынести в отдельную главу?