Functional Equations

Есть в математике прикольная штука -- функциональные уравнения. Это когда решением уравнения является функция, а само уравнение включает значения функции в разных точках.
Например: $$f(xy) = f(x) + f(y)$$ Каждая функция $\log_a(x)$ ($\forall a$) является решением этого уравнения: действительно, ведь $\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$.
И больше никаких решений нет (что, впрочем, неочевидно).

А вот другие функциональные уравнения: $$f(f(x,y),z) = f(x,f(y,z))$$ $$f(x,y) = f(y,x)$$ Им удовлетворяют функции $f(x,y) = xy$ и $f(x,y) = x+y$, что непосредственно следует из коммутативности и ассоциативности операций сложения и умножения.

Разве не классно?

Теоремы

1. Если $f(x) = x$, то $f(f(f\dots(f(x)\dots))) = x$.
2. ...