Probability

Казалось бы, зачем нужна такая абстрактная и малоприменимая на первый взгляд наука, как теория вероятностей? Ну да, мы можем посчитать вероятность выпадения фишки в казино, и даже вероятность того, что получится слово "счастье" из случайно выбранных букв какого-нибудь четырёхбуквенного слова.
Но как всё это применимо на практике?

Первое впечатление не всегда верно. Тервер нужен. Нужен он в информатике-программировании: как иначе ты определишь, например, вероятность того, что письмо, содержащее слово "купите", является спамом? И много похожих задач.
Нужен он и в физике: рассматривая газ, мы не можем отследить каждую частицу отдельно, зато можем говорить о вероятности, скажем, попадании одной частицы в какой-нибудь объём. Или о средней скорости частиц. Или о чём-нибудь ещё.
Отдельный привет инженерам, имеющим славный предмет "Метрология и основы стандартизации", немалую часть которого занимают всякие распределения и т.п. А как ещё оценить количество-вероятность брака на производстве?

И это только самые базовые примеры!

Тервер в школе изучали все. Не так ли? Вы должны понимать, что такое вероятность, случайное число, событие и тому подобное. Впрочем, я опираюсь на интуитивное понимание а не знание определений.
Задача этой главы -- дать понимание базового тервера, и, в том числе, что такое распределения, и с чем их едят. Важная и хорошая штука, и лучше бы в математике её встретить раньше, чем в физике.

Итаак, поехали.

События

Тут вообще какая-то фигня написана. Нужно написать чёткий список понятий, о которых рассказывать.

• О судьбе (лол), событиях и вероятностях. Определить элементарные исходы и события. Случайные величины.
• Операции над событиями как над множествами. Пространство исходов, событий, сигма-алгебра.
• Вероятность события, геометрическое, статистическое и аксиоматическое определения.
• Условная вероятность, формула Байеса, схема Бернулли.
• Распределения.
• Числовые характеристики: ожидание, дисперсия, эксцесс, ковариация. Рассматривание случайностей как векторов, углы между ними (ковариации) и т.п.

В техе вероятность записывается так: ${\sf P}(A)$.

Определение. Моделью называется любой объект, генерирующий случайные числа.

...совершенно отвратительно написано. Сначала рассказать про реальные объекты, а потом всё перевести в модели...

Примеры:

• Игральный кубик (генерирует число от 1 до 6). Важный момент: создать идеальный куб в реальности -- технологически невозможно, полностью случайные числа наши кубики выдавать не будут. Но как в геометрии мы можем представить идеальный круг (а не составленный из атомов многоугольник), так и здесь можем представить идеальный кубик, который действительно генерирует случайность.
• Подбрасывание монеты.
• Количество звонков клиентов в компанию -- тоже вполне себе случайная величина.
• Стрельба по мишени с большого расстояния.
• Выбор карты из перемешанной колоды.

Итак, случайной величиной называется то, что выдаёт модель. Упс. Циклическое определение).

Определение. Элементарным исходом называют любой простейший (неделимый в рамках данного опыта) результат опыта.

Очевидно, что у настоящих физических моделей огромное количество исходов: в какое место монета упадёт, какой стороной, встанет ли на ребро, закатится ли в щель, поймает ли её летящая мимо ворона, или унесут ли муравьи, чтобы поклоняться упавшему с неба двуглавому орлу.
В математических моделях же мы исключаем все лишние исходы: идеальная монета не может упасть на ребро, и муравьёв она отпугивает.

Множество всех элементарных исходов будем называть пространством элементарных исходов (обозначается $\Omega$).

• В результате опыта один из исходов пространства обязательно происходит.
• Появление одного из исходов исключает появление остальных.
• В рамках данного опыта нельзя разделить исход на более мелкие.

Примеры:

• Однократное подбрасывание монеты: $\Omega = \{ \text{О},\,\text{Р}\}$ (Орёл, Решка).
• Двукратное: $\Omega = \{ \text{ОО},\,\text{ОР},\,\text{РР},\,\text{РО}\}$.
• Выбор карты: $\Omega = \{ \color{red}{♥\,6},\, \color{red}{♦\,6},\, ♣\,6,\, ♠\,6,\,\cdots,\,\color{red}{♥\,T},\, \color{red}{♦\,T},\, ♣\,T,\, ♠\,T \}$.
• Кубик: $\Omega = \{1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6\}$.
• Стрельба по бесконечной (по обеим координатам) мишени: $\Omega = \mathbb R^2$.

Примечание: мишень должна быть ещё и континуальной (физическая счётна, т.к. состоит из атомов).

Определение. Событием называется множество элементарных исходов.

Например, событие "монета упала решкой вверх" включает все-все исходы, когда монета... да, всё правильно, упала решкой вверх. При этом она может упасть в то или иное место, в разный момент времени... неважно, мы включаем все эти исходы в одно событие.
А есть и другой путь: мы можем рассмотреть математическую модель монеты, которая всегда падает в одно место и с одним и тем же временем. И тогда событие будет состоять из одного исхода. лучше много примеров событий вместо такого тупого описания

Событие, состоящее из всех исходов, и, соответственно, происходящее обязательно, называют достоверным событием и обозначают $\Omega$.
Событие, не содержащее ни одного исхода, и, соответственно, не происходящее никогда, называют невозможным событием и обозначают $\varnothing$.

Поскольку события -- это множества, для них справедливы операции теории множеств, например:
$A \cup B$ -- событие, происходящее всегда, когда происходит $A$, либо $B$.
Задание. Переформулируйте в терминах событий основные теоретико-множественные операции ($\cap$, $\setminus$, $\triangle$, $\times$).

Пересечение и объединение событий также называют их произведением и сложением. Записывают соответственно: $$A \cup B = A + B \\ A \cap B = AB$$ Непересекающиеся события ($A \cap B = \varnothing$) также называются несовместными (т.к. они никогда не происходят вместе, например, выпадение орла и выпадение решки; в то же время, выпадение 2 на кубике и выпадение чётного числа вообще -- события вполне совместные ($\{2\} \cap \{2,4,6\} = \{2\}$)).

Разность событий: $A \setminus B$.
Дополнение события: $\overline A = \Omega \setminus A$ (а также "событие, противоположное событию $A$").

Вероятностное пространство, теорема сложения, умножения, геометрическая вероятность. Формула Бернулли?

Условная вероятность

Условная вероятность, формула Байеса.

Распределение

Ожидание, дисперсия, эксцесс...

...и все остальные характеристики.

Предельные теоремы

Ещё можно алгоритмы генерации. Посмотреть листок 57-ой.

Библиография:

• Книга МГТУ.