Differential Equations

Дифференциальные уравнения -- это такие уравнения, решениями которых являются функции, а сами уравнения могут содержать производные и разные другие фишки.
Ну например: $$f'(x) = f(x)$$ Очевидно, что решением этого дифура является $f(x) = e^x$.

А вот другой: $$f''(x) = -f(x)$$ Тут очевидных решений целых два: $f(x) = \sin x$ и $f(x) = \cos x$.
Также решением является, внезапно, $f(x) = \sin x + \cos x$.

Тут есть два важнейших свойства. Во-первых, функция может описывать какой-то процесс, а значит, дифур также может описывать процесс. Так, например, $f''(x) = -\lambda^2f(x)$ описывает математический маятник (привет, физика!).
Во-вторых, производная описывает скорость роста функции, а значит, мы можем искать функции с какими-то специальными закономерностями роста или что-то подобное. Всё это делает дифуры важнейшим инструментом физики: смотря на процесс, можно составить его дифференциальное уравнение, а, решив его, получаем функцию, описывающую процесс.

Примечание: обыкновенные дифференциальные уравнения -- это когда у нас функция с одной переменной. Иначе появляются уравнения в частных производных, также известные как уравнения математической физики: $$\frac{\partial^2 f}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$$ (решение -- функция, зависящая от 3 переменных: $f(x,y,t)$ )

// Выражение $P(x,y)dx + Q(x,y)dy$ называется дифференциальной формой 1 порядка.

Далее будет много разных видов различных дифуров, и способы их решения. Небольшое имхо: заучивать их все и прорешивать тысячи не надо, юзайте как справочник.

С разделяющимися переменными

Обычно они имеют вид: $$y' = f(x)g(y)$$ Всё просто: $$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$$ $$\frac{dy}{g(y)} = f(x)dx$$ $$\int\frac{dy}{g(y)} = \int f(x)dx$$ И да, не забываем при делении проверить, не является ли функция, равная нулю, решением. Выше мы разделили обе части уравнения на $g(y)$: надо обязательно проверить, не обращает ли $g(y) = 0$ уравнение в равенство.

Однородные

$$y' = f\left(\frac{y}{x}\right)$$ Примечание: функция вида $f\left(\frac x y\right)$ является, очевидно, частным случаем.

Здесь нужна следующая подстановка: $$z = \frac{y}{x}$$ Тогда имеем: $$y = zx,\quad y'=z'x+z$$ Ну вот и всё х) $$z'x + z = f(z)$$ А оно является уравнением с разделяющимися переменными.

Уравнения Бернулли

Общий вид: $$y' + a(x)y = b(x) y^n$$ ($n \ne 0, 1$, при них получаем однородное или неоднородное линейное уравнение)

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%91%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%83%D0%BB%D0%BB%D0%B8

Линейные уравнения

Первое. Однородное, с постоянными коэффициентами: $$a y'' + b y' + c y = 0$$ (что-то вроде обычного алгебраического, только производные вместо степеней)

Составляем характеристическое уравнение: $$a \lambda^2 + b \lambda + c = 0$$ Решаем: $$\lambda_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ Общее решение: $y = C_1 e^{\lambda_1 t} + C_2 e^{\lambda_2 t}$.
Когда корни комплексные ($\lambda_k = \alpha_k + i\beta_k$), по равенству кого-то-там-забыл ($e^{it} = \cos t + i\sin t$) получаем...

Второе.

Ещё варианты

Во-первых, такие: $y' = f(ax+by)$. Подстановка $z = ax + by$, откуда $y = \frac{z-ax}{b}$ и $y' = \frac{z'-a}{b}$.

Во-вторых, $y' = f\left(\frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2}\right)$. Подстановка $u = x - x_0$, $v = y - y_0$, где $(x_0, y_0)$ -- решение системы $a_1x + b_1y + c_1 = 0$, $a_2x+b_2y+c_2 = 0$. После замены получаем $\frac{dv}{du} = \frac{a_1u + b_1v}{a_2u+b_2v}$.